Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l’expression de sa fonction dérivée sur R.

1.     \(f\left( x \right)\ = \ xe^{x}\ + \ 3x\ - \ 1\)

2.     \(g(x)\text{=}\left( {x^{2}\ + \ 2x\ - \ 1} \right)e^{x}\)

3.     \(h\left( x \right)\ = \ \frac{e^{x}}{e^{x} + x}\)

Simplifier l’écriture de chacun des nombres suivants où \(x\)  désigne un nombre réel.

\(A = e^{3x} \times e^{4x}\,\,\,;\,\,\, B = \frac{1}{\left( e^{2x} \right)}\,\,\,\,\,;\,\,\, C = \frac{1}{\left( e^{- x} \right)^{6}}\)

\(D = \frac{1}{\left( e^{- x} \right)^{6}} \times e^{3x}\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\, E = \frac{e^{3 - 2x} \times \left( e^{x} \right)^{5}}{e^{x - 2}}\)

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) de son ensemble de définition par\(f\ \left( x \right) = \frac{2}{e^{x} - 2}\ \).  Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse en justifiant !a réponse.

1.     \(f\) est définie sur\({\rbrack{- \infty;1}\lbrack} \cup {\rbrack{1; + \infty}\lbrack}\) .

2.     \(f\) est dérivable sur chacun des intervalles constituants son ensemble de définition :

\(f'(x) = \frac{- 2}{\left( {e^{x} - 1} \right)^{2}}\)

3.     \(f\) est strictement croissante sur \(\rbrack{- \infty\ ;\ 0}\lbrack\) et sur \(\rbrack{0\ ;\ + \infty}\lbrack\) [.

1.     Démontrer que, pour tout réel \(x\) , on a :

\(\frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\)

2.     Démontrer que, pour tout réel; \(x\) , on a :

\(e^{- x} - e^{- 2x} = \frac{e^{x} - 1}{e^{2x}}\)

Pour chacune des suites ci-dessous dont on donne le terme général, montrer qu’il s’agit d’une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison

1.     \(u_{n} = e^{- n}\)

2.     \(u_{n} = e^{({- n + 2})} \times e^{({3n - 2})}\)

3.     \(u_{n} = \frac{e^{1}}{e^{({3n + 1})}}\)

On considère la suite \(\left( u_{n} \right)\) définie pour \(n\ \geq \ 0\) par : \(u_{n} = e^{({2 - \frac{n}{3}})}\)

1 . Calculer ses premiers termes de \(u_{0}\) à \(u_{3}\) , puis conjecturer son sens de variation.

3. La conjecture précédente est-elle validée ? Justifier.

Dans chacun des cas suivants, étudier le sens de

variation de la fonction.

1. \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\) par f \(f\left( x \right)\ = \ - 5e^{4x}\) .

2. \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)\ = \ \left( {x + \ 1} \right)e^{3x}\) .

Déterminer la fonction dérivée et étudier le sens de variation de chacune des fonctions suivantes Sur l‘intervalle I indiqué.

1. \(f\left( x \right) = x\text{+}e^{x}\,\, sur\,\,\,\, I = {\mathbb{R}}.\)

2. \(.g\left( x \right)\ = \frac{e^{x}}{x}\ sur\; \text{ I = }{\rbrack{0; + \infty}\lbrack}.\)

3. \(h\left( x \right)\ = \ xe^{x}\ sur\ I = {\mathbb{R}}\)