Représentation binaire d'un entier relatif
Représentation des entiers relatifs Complément à 2

Introduction

Il existe deux conventions pour représenter les nombres entiers relatifs en notation binaire.

La convention dite : « Par complément à \(2^{n}\) »

 La convention dite : « Par bit de signe »

 “n” étant le nombre de bits du format utilisé. La convention par “complément à \(2^{n}\) ” est parfois improprement nommée “Complément à 2”

Cette méthode permet d’utiliser les opérations classiques sans problème.

Enroulement sur un cercle

Représentation binaire d’un entier relatif

On nomme « Complément à 1 »d’un nombre binaire Le nombre obtenu en remplaçant tous ses ‘1’ par des zéros et tous ses zéros par des ‘1’.

Il faut s'inspirer de la représentation du cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique Représentation

Définition

Le cercle trigonométrique de centre O est celui qui a pour rayon 1 et qui est muni d'un sens direct.

image2

La longueur du cercle trigonométrique est de 2ℼ et les mesures des angles en radians sont dans l'intervalle ]-ℼ ; ℼ] .

Ce qui signifie qu'un angle qui a une mesure supérieure a ℼ radians et inférieure a 2ℼ radians une mesure négative.

On applique la même méthode pour les nombres binaires avec un changement de l'intervalle pour une longueur de \(2^{n}\) on a un intervalle de

[\(-2^{n-1}\) ; \(2^{n-1}\)[ ,

comme on a un ensemble B discret de valeurs le cardinal de B est égal a \(2^{n}\) et B={\(-2^{n-1}\)...0....\(2^{n-1}-1\) }

Enroulement sur un cercle
Enroulement sur un cercle trigonométrique Enroulement sur un cercle de longueur \(2^{n}\)
image1
image2

Cercle de représentation binaire
Représentation de 4 nombres relatifs Représentation de 8 nombres relatifs
image1 image2
Représentation des relatifs en 4 bits Représentation des relatifs en 5 bits
image1 image2

Exemple :

N = 0111 1110 et    ~N = 1000 0001

\(\begin{array}{l} {~\boxed{\begin{array}{l} {\,\,\,\,\,\,\, N\ = \ 0000\,\,0001\ \left( {décimal\ :\ + 1} \right)~~} \\ {\sim N\ = \ 1111\,\,1110~~~~~~~~~~~~~~\ ~~\,\,\,\,\,~~ ~~~~~~~} \\ \end{array}}} \\ {~ - N\ = \,\,~1111\,\,1111~~\left( {décimal\ :\ - 1} \right)} \\ \end{array}\)

En symbolisant Complément à 1 de N par ~N La convention :

Un nombre binaire sera positif si son premier bit à gauche, (le bit le plus signifiant : MSB) est « 0 ».

Les nombres positifs ont un MSB = 0 et les nombres négatifs ont un MSB =1.

Définition
l’opposé d’un nombre N sera
\(\,\,\,-\) N  \(\,\, =\) \(\,\,\,\sim\) N  \(\,\, +\) 1
EXEMPLE
     N \(\,\,\,=\)  00  110 110 (base 10 : \(\,\, +\) 54)
     \(\,\,\,\sim\) N \(\,\,\,=\)   11  001 001             \(\,\, +\)  1)
  \(\,\, -\) N \(\,\,\,=\)  11  110 110 (base 10 : \(\,\, - \) 54)
  Nombre binaire Complément à 1 Opposé au nombre binaire
  N \(\sim N\) \(- N\)
8 bits 0011 0101 1100 1010 1100 1011
En base 10 +54   \(- 54\)
16 bits 0100 0000 0001 1010 1011 1111 1110 0101 1011 1111 1110 0110
En base 10 +16 420   \(- 16\ 42 0\)

.

Pour des nombres de 16 bits, on peut représenter les entiers relatifs compris entre :

0111 1111 1111 1111 et 1000 0000 0000 0000, c’est-à-dire :

0111 1111 1111 1111 en binaire a pour valeur en base 10 :

\(2^{14} + 2^{13} + 2^{12} + 2^{11} + 2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^{7} + 2^{6} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1 = \frac{1 - 2^{15}}{1 - 2} = 32767\)

1000 0000 0000 0000 en binaire a pour valeur en base 10 :

\(2^{15} = 32\, 768\)

1111 1111 1111 1111\(–\) 0111 1111 1111 1111= 1000 0000 0000 0000

Nombre en binaire Valeur en base 10 Nombre en base 10
0000 0000 0000 0000 0 0
0000 0000 0000 0001 1 1
0111 1111 1111 1111 32 767 32 767
1111 1111 1111 1111 65 535 \(32~767 - 32\ 768 = - 1\)
1000 0000 0000 0000 32 768 \(65~536\ –\ 32~768\ = - 32\ 768\)

.

Représentation binaire sur n bits d’un entier relatif

.

Si les nombres relatifs sont représentés sur n bits.

Les entiers positifs sont compris entre \(0\,\,\, et\,\,\, 2^{n - 1} - 1\)  .

Les nombres négatifs sont compris entre \(- 2^{n - 1}\) et 0.

.

Exemples :

.

Nombre de bits Borne négative Borne positive
8 \(- 128\) 127
16 \(- 32\ 768\) 32 767
32 \(- 2\ 147\ 483\ 648\) 2 147 483 647