Représentation des entiers relatifs Complément à 2

Introduction

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Il existe deux conventions pour représenter les nombres entiers relatifs en notation binaire.

La convention dite : « Par complément à \(2^{n}\) »

 La convention dite : « Par bit de signe »

 “n” étant le nombre de bits du format utilisé. La convention par “complément à \(2^{n}\) ” est parfois improprement nommée “Complément à 2”

Cette méthode permet d’utiliser les opérations classiques sans problème.

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Représentation binaire d’un entier relatif

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On nomme « Complément à 1 »d’un nombre binaire Le nombre obtenu en remplaçant tous ses ‘1’ par des zéros et tous ses zéros par des ‘1’.

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Cercle trigonométrique

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Exemples :

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Il faut s'inspirer de la représentation du cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique	Représentation
Définition Le cercle trigonométrique de centre O est celui qui a pour rayon 1 et qui est muni d'un sens direct.

La longueur du cercle trigonométrique est de 2ℼ et les mesures des angles en radians sont dans l'intervalle ]-ℼ ; ℼ] .

Ce qui signifie qu'un angle qui a une mesure supérieure a ℼ radians et inférieure a 2ℼ radians une mesure négative.

On applique la même méthode pour les nombres binaires avec un changement de l'intervalle pour une longueur de \(2^{n}\) on a un intervalle de

[\(-2^{n-1}\) ; \(2^{n-1}\)[ ,

comme on a un ensemble B discret de valeurs le cardinal de B est égal a \(2^{n}\) et B={\(-2^{n-1}\)...0....\(2^{n-1}-1\) }

Enroulement sur un cercle trigonométrique	Enroulement sur un cercle de longueur \(2^{n}\)

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Cercle de représentation binaire

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Représentation de 4 nombres relatifs	Représentation de 8 nombres relatifs
Représentation des relatifs en 4 bits	Représentation des relatifs en 5 bits

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Exemple :

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N = 0111 1110 et    ~N = 1000 0001

\(\begin{array}{l} {~\boxed{\begin{array}{l} {\,\,\,\,\,\,\, N\ = \ 0000\,\,0001\ \left( {décimal\ :\ + 1} \right)~~} \\ {\sim N\ = \ 1111\,\,1110~~~~~~~~~~~~~~\ ~~\,\,\,\,\,~~ ~~~~~~~} \\ \end{array}}} \\ {~ - N\ = \,\,~1111\,\,1111~~\left( {décimal\ :\ - 1} \right)} \\ \end{array}\)

En symbolisant Complément à 1 de N par ~N La convention :

Un nombre binaire sera positif si son premier bit à gauche, (le bit le plus signifiant : MSB) est « 0 ».

Les nombres positifs ont un MSB = 0 et les nombres négatifs ont un MSB =1.

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Définition :

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l’opposé d’un nombre N sera :\(\left. - \mathbf{N}\ = \ \right.\sim\mathbf{N}\ + \ \mathbf{1}\)

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\(\begin{array}{l} {~\boxed{\begin{array}{l} {\,\,\,\,\,\,\, N\ = \ 0011\,\,0110\ \left( {décimal\ :\ + 54} \right)~~} \\ {\sim N\ = \ 1100\,\,1001~~~~~~~~~~~~~~\ ~~\,\,\,\,\,~~ + \ 1~~~~} \\ \end{array}}} \\ {~ - N\ = \,\,~1100\,\,1010~~\left( {décimal\ :\ - 54} \right)} \\ \end{array}\)

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	Nombre binaire	Complément à 1	Opposé au nombre binaire
	N	\(\sim N\)	\(- N\)
8 bits	0011 0101	1100 1010	1100 1011
En base 10	+54		\(- 54\)
16 bits	0100 0000 0001 1010	1011 1111 1110 0101	1011 1111 1110 0110
En base 10	+16 420		\(- 16\ 42 0\)

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Pour des nombres de 16 bits, on peut représenter les entiers relatifs compris entre :

0111 1111 1111 1111 et 1000 0000 0000 0000, c’est-à-dire :

0111 1111 1111 1111 en binaire a pour valeur en base 10 :

\(2^{14} + 2^{13} + 2^{12} + 2^{11} + 2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^{7} + 2^{6} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1 = \frac{1 - 2^{15}}{1 - 2} = 32767\)

1000 0000 0000 0000 en binaire a pour valeur en base 10 :

\(2^{15} = 32\, 768\)

1111 1111 1111 1111\(–\) 0111 1111 1111 1111= 1000 0000 0000 0000

Nombre en binaire	Valeur en base 10	Nombre en base 10
0000 0000 0000 0000	0	0
0000 0000 0000 0001	1	1
0111 1111 1111 1111	32 767	32 767
1111 1111 1111 1111	65 535	\(32~767 - 32\ 768 = - 1\)
1000 0000 0000 0000	32 768	\(65~536\ –\ 32~768\ = - 32\ 768\)

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Représentation binaire sur n bits d’un entier relatif

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Si les nombres relatifs sont représentés sur n bits.

Les entiers positifs sont compris entre \(0\,\,\, et\,\,\, 2^{n - 1} - 1\) .

Les nombres négatifs sont compris entre \(- 2^{n - 1}\) et 0.

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Exemples :

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Nombre de bits	Borne négative	Borne positive
8	\(- 128\)	127
16	\(- 32\ 768\)	32 767
32	\(- 2\ 147\ 483\ 648\)	2 147 483 647