Introduction
Il existe deux conventions pour représenter les nombres entiers relatifs en notation binaire.
La convention dite : « Par complément à \(2^{n}\) »
La convention dite : « Par bit de signe »
“n” étant le nombre de bits du format utilisé. La convention par “complément à \(2^{n}\) ” est parfois improprement nommée “Complément à 2”
Cette méthode permet d’utiliser les opérations classiques sans problème.
Représentation binaire d’un entier relatif
On nomme « Complément à 1 »d’un nombre binaire Le nombre obtenu en remplaçant tous ses ‘1’ par des zéros et tous ses zéros par des ‘1’.
Il faut s'inspirer de la représentation du cercle trigonométrique
| Le cercle trigonométrique | Représentation |
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Définition Le cercle trigonométrique de centre O est celui qui a pour rayon 1 et qui est muni d'un sens direct. |
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La longueur du cercle trigonométrique est de 2ℼ et les mesures des angles en radians sont dans l'intervalle ]-ℼ ; ℼ] .
Ce qui signifie qu'un angle qui a une mesure supérieure a ℼ radians et inférieure a 2ℼ radians une mesure négative.
On applique la même méthode pour les nombres binaires avec un changement de l'intervalle pour une longueur de \(2^{n}\) on a un intervalle de
[\(-2^{n-1}\) ; \(2^{n-1}\)[ ,
comme on a un ensemble B discret de valeurs le cardinal de B est égal a \(2^{n}\) et B={\(-2^{n-1}\)...0....\(2^{n-1}-1\) }| Enroulement sur un cercle trigonométrique | Enroulement sur un cercle de longueur \(2^{n}\) |
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| Représentation de 4 nombres relatifs | Représentation de 8 nombres relatifs |
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| Représentation des relatifs en 4 bits | Représentation des relatifs en 5 bits |
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Exemple :
N = 0111 1110 et ~N = 1000 0001
\(\begin{array}{l} {~\boxed{\begin{array}{l} {\,\,\,\,\,\,\, N\ = \ 0000\,\,0001\ \left( {décimal\ :\ + 1} \right)~~} \\ {\sim N\ = \ 1111\,\,1110~~~~~~~~~~~~~~\ ~~\,\,\,\,\,~~ ~~~~~~~} \\ \end{array}}} \\ {~ - N\ = \,\,~1111\,\,1111~~\left( {décimal\ :\ - 1} \right)} \\ \end{array}\)
En symbolisant Complément à 1 de N par ~N La convention :
Un nombre binaire sera positif si son premier bit à gauche, (le bit le plus signifiant : MSB) est « 0 ».
Les nombres positifs ont un MSB = 0 et les nombres négatifs ont un MSB =1.
| l’opposé d’un nombre N sera |
| \(\,\,\,-\) N \(\,\, =\) \(\,\,\,\sim\) N \(\,\, +\) 1 |
| EXEMPLE |
| N \(\,\,\,=\) 00 110 110 (base 10 : \(\,\, +\) 54) |
| \(\,\,\,\sim\) N \(\,\,\,=\) 11 001 001 \(\,\, +\) 1) |
| \(\,\, -\) N \(\,\,\,=\) 11 110 110 (base 10 : \(\,\, - \) 54) |
| Nombre binaire | Complément à 1 | Opposé au nombre binaire | |
|---|---|---|---|
| N | \(\sim N\) | \(- N\) | |
| 8 bits | 0011 0101 | 1100 1010 | 1100 1011 |
| En base 10 | +54 | \(- 54\) | |
| 16 bits | 0100 0000 0001 1010 | 1011 1111 1110 0101 | 1011 1111 1110 0110 |
| En base 10 | +16 420 | \(- 16\ 42 0\) |
.
Pour des nombres de 16 bits, on peut représenter les entiers relatifs compris entre :
0111 1111 1111 1111 et 1000 0000 0000 0000, c’est-à-dire :
0111 1111 1111 1111 en binaire a pour valeur en base 10 :
\(2^{14} + 2^{13} + 2^{12} + 2^{11} + 2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^{7} + 2^{6} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1 = \frac{1 - 2^{15}}{1 - 2} = 32767\)
1000 0000 0000 0000 en binaire a pour valeur en base 10 :
\(2^{15} = 32\, 768\)
1111 1111 1111 1111\(–\) 0111 1111 1111 1111= 1000 0000 0000 0000
| Nombre en binaire | Valeur en base 10 | Nombre en base 10 |
|---|---|---|
| 0000 0000 0000 0000 | 0 | 0 |
| 0000 0000 0000 0001 | 1 | 1 |
| 0111 1111 1111 1111 | 32 767 | 32 767 |
| 1111 1111 1111 1111 | 65 535 | \(32~767 - 32\ 768 = - 1\) |
| 1000 0000 0000 0000 | 32 768 | \(65~536\ –\ 32~768\ = - 32\ 768\) |
.
Représentation binaire sur n bits d’un entier relatif
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Si les nombres relatifs sont représentés sur n bits.
Les entiers positifs sont compris entre \(0\,\,\, et\,\,\, 2^{n - 1} - 1\) .
Les nombres négatifs sont compris entre \(- 2^{n - 1}\) et 0.
.
Exemples :
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| Nombre de bits | Borne négative | Borne positive |
|---|---|---|
| 8 | \(- 128\) | 127 |
| 16 | \(- 32\ 768\) | 32 767 |
| 32 | \(- 2\ 147\ 483\ 648\) | 2 147 483 647 |